Números
Las nociones de número y de sistema numérico son el hilo conductor de una exposición matemática en la que subyace un objetivo filosófico aún más general y ambicioso: ofrecer una posible respuesta a la pregunta qué son y de qué tratan las matemáticas. El autor nos invita a entender las matemáticas como una actividad humana, ligada siempre a fines y problemas originales, que consiste en construir sistemas de objetos que son las formas abstractas de ciertos fenómenos. En este sentido, comprender qué son los números naturales o los números reales significa dar cuenta del acto de dación de sus respectivas teorías (aritmética y análisis); es decir, explicar el proceso de constitución a partir del cual cada una de estas teorías nos ha sido dada como una unidad abstracta, autónoma e independiente, que sólo se atiene a su estructura lógica interna, y por tanto, se ha liberado de su origen informal e intuitivo. Esto último constituye para el autor la fuente de una preocupación "didáctica" que inspira esta obra: los textos de enseñanza tradicionales se ocupan estrictamente del resultado de esta constitución, esto es, de la lógica interna de las teorías matemáticas. Bajo esta mirada, las matemáticas pueden ser concebidas como una actividad arbitraria que postula entidades vacías de contenido. He aquí precisamente el lugar del historiador de las matemáticas. Es necesario ofrecer la reconstrucción histórica del proceso que articula las etapas preformales, que anteceden a la constitución de dichas teorías, con un problema original que ha quedado oculto y que constituye su razón de ser. En este sentido, además del interés natural que esta obra reviste para los matemáticos y filósofos de las matemáticas, ella trata un asunto trascedental para la comunidad de educadores matemáticos.
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AutorMarco Panza |
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CONTENIDO
PREFACIO A LA EDICIÓN EN CASTELLANO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
AGRADECIMIENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
PREFACIO A LA EDICIÓN EN FRANCÉS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
ADVERTENCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1 NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS: UNA TEORÍA EMPÍRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1 Los números enteros positivos como correlatos del acto de contar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2 Orden de los números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.3 Algunas propiedades de los números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.4 Operar sobre los números: la adición y la multiplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.5 Operaciones inversas: la sustracción y la división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
1.6 Nombres y símbolos de los números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2 NÚMEROS ENTEROS POSITIVOS: UNA TEORÍA AXIOMÁTICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.1 El conjunto de los números naturales: los cinco axiomas de Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.2 Orden en los números naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
2.3 La adición y la multiplicación sobre los números naturales y sus operaciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.4 Nombres y símbolos de los números naturales y teoremas
particulares relativos a esos números . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3 ALGUNOS RESULTADOS SOBRE SUMAS NOTABLES DE NÚMEROS NATURALES DEMOSTRADOS POR INDUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
3.1 Suma parcial de una serie aritmética arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.2 Suma parcial de una serie geométrica arbitraria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.3 Sumas de los n + 1 primeros cuadrados y de los n + 1 primeros cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.4 El desarrollo binomial para un exponente natural cualquiera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
4 NÚMEROS RACIONALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.1 Los números fraccionarios estrictamente positivos como correlatos del acto de dividir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.2 Números fraccionarios estrictamente positivos y división . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.3 Números fraccionarios estrictamente positivos y relación de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
4.4 Números racionales positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
4.5 Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
5 ALGUNAS ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS ELEMENTALES. GRUPOS, ANILLOS Y CUERPOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
5.1.1 El ejemplo de un grupo de permutaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
5.1.2 Los grupos de las clases de congruencia módulo n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315
5.2 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
5.3 Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
5.4 Cuerpos y orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
6 NÚMEROS REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.1 La insuficiencia de los racionales para medir segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
6.2 Sucesiones, series y convergencia hacia un (cierto) límite en un (cierto) conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
6.3 Condiciones de medida de segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
6.4 El conjunto de los números reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
6.4.1 Definición explícita de los reales: la construcción de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
6.4.2 Definición implícita de los reales: el axioma de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
6.5 Cardinalidad del conjunto de los reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
ÍNDICE DE NOMBRES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
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