El álgebra lineal numérica consiste en el planteamiento, análisis y solución de los problemas básicos del álgebra lineal desde un punto de vista numérico, centrándose en el estudio de algoritmos “prácticos” para resolver dichos problemas en un computador usando aritmética de precisión finita.
La idea de escribir un libro de álgebra lineal numérica, a nivel introductorio, surgió de nuestra experiencia orientando el curso a estudiantes de Matemáticas, Licenciatura en Matemáticas y Maestría en Ciencias Matemáticas de la Universidad del Cauca, y Maestría en Matemáticas de la Universidad del Valle.
El texto introduce al lector en el estudio y solución de tres grandesproblemas: sistemas de ecuaciones lineales, mínimos cuadrados lineales, y valores y vectores propios. Teniendo como meta su solución numérica y conscientes de que la buena comprensión de un algoritmo que resuelva un problema requiere del conocimiento teórico que lo sustenta, para cada problema desarrollamos el marco teórico necesario que conducenaturalmente al respectivo algoritmo (o algoritmos) de solución.Además, estudiamos aspectos generales relacionados con la aritméticade precisión finita, íntimamente relacionada con el trabajo numérico en un computador que puede afectar los cálculos computacionales.
Con el ánimo de ampliar el conocimiento sobre los antecedentes en esta área, incluimos breves notas históricas sobre la vida de algunos de los matemáticos o analistas numéricos que cimentaron las bases del álgebra lineal numérica, quienes con su legado han permitido un gran avance en el área.
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AutorRosana PérezIdentificadores:
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AutorHéctor MartínezIdentificadores:
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AutorFavián ArenasIdentificadores:
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Digital: descarga y online - EPUB
Catálogo programa editorial univalle:
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CONTENIDO
1. Preliminares 15
1.1. Notación y operaciones básicas . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.2. Inversa, independencia y ortogonalidad . . . . . . . . . . . 18
1.3. Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4. Normas vectoriales y matriciales . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.1. Normas vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4.2. Normas matriciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.5. Descomposición en valores singulares (DVS) . . . . . . . . 56
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2. Aritmética de precisión finita 75
2.1. Sistemas de numeración posicionales . . . . . . . . . . . . . 76
2.2. Representación de números . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3. El estándar IEEE [51] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
2.4. Errores de aproximación: absoluto y relativo . . . . . . . . . 94
2.5. Aritmética de punto flotante . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.6. Condición de un problema y estabilidad de un algoritmo . . 110
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3. Sistemas de ecuaciones lineales 121
3.1. Sensibilidad de Ax = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.2. Sistemas triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.3. Eliminación gaussiana y factorización LU . . . . . . . . . . 140
3.4. Solución del sistema Ax = b . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.5. Pivoteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.6. Sistemas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.6.1. Sistemas simétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.6.2. Sistemas simétricos definidos positivos . . . . . . . . . . . 162
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
4. Mínimos cuadrados lineales 177
4.1. Planteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.2. Solución mediante las ecuaciones normales . . . . . . . . . 184
4.3. Factorización QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
4.3.1. Proceso de Gram-Schmidt y la factorización QR. . 187
4.3.2. Reflexiones de Househölder y la factorización QR . 196
4.3.3. Transformaciones de Givens y la factorización QR . 206
4.4. Solución mediante la factorización QR . . . . . . . . . . . . 214
4.5. Solución mediante la descomposición en valores singulares . 216
4.6. Sensibilidad del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
5. Valores y vectores propios 231
5.1. Propiedades matemáticas del problema . . . . . . . . . . . . 232
5.2. Sensibilidad de valores y vectores propios . . . . . . . . . . 245
5.2.1. Sensibilidad de los valores propios . . . . . . . . . . 246
5.2.2. Sensibilidad de los vectores propios . . . . . . . . . 253
5.3. Cálculo numérico de valores y vectores propios . . . . . . . 259
5.3.1. Método de las potencias o iteración directa . . . . . 259
5.3.2. Iteración inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264
5.3.3. Iteración inversa con desplazamiento . . . . . . . . 266
5.3.4. Iteración inversa con cociente de Rayleigh . . . . . . 267
5.4. Método de dos etapas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
Bibliografía 281
Índice alfabético 289
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Ejemplo De Método En Investigaciones Sociales
Autor
Erico Rentería Pérez : Sigmar Malvezzi : Erico Rentería Pérez
2020-
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