Los números reales como objeto matemático:

Una perspectiva histórico epistemológica


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EI presente texto es uno de los productos de un proyecto de investigación aprobado por Colciencias y la Universidad del Valle, realizado entre enero de 2005 y abril de 2008 bajo el título de "La constitución histórica de los números reales en la perspectiva de la formación de docentes". La iniciativa de producir este texto surge de la necesidad de proponer a la comunidad de educadores matemáticos de secundaria y universidad de la región una opción complementaria para el tratamiento de los números reales a nivel escolar. Específicamente se plantea la posibilidad de incorporar, desde una visión amplia del campo de la educación matemática, las dimensiones históricas, epistemológicas y filosóficas relativas al concepto número real, dentro del conjunto de posibles estrategias que permitirían una mejor apropiación de dicho concepto tanto de los profesores en general como de los estudiantes de la educación media y primeros años de universidad. El carácter interdisciplinario de este trabajo de investigación está respaldado por la participación de dos grupos de investigación: el grupo de historia de las matemáticas y el grupo de. Educación matemática, ambos de la Universidad del Valle.Específicamente se plantea la posibilidad de incorporar, desde una visión amplia del campo de la educación matemática, las dimensiones históricas, epistemológicas y filosóficas relativas al concepto número real, dentro del conjunto de posibles estrategias que permitirían una mejor apropiación de dicho concepto tanto de los profesores en general como de los estudiantes de la educación media y primeros años de universidad. El carácter interdisciplinario de este trabajo de investigación está respaldado por la participación de dos grupos de investigación: el grupo de historia de las matemáticas y el grupo de. Educación matemática, ambos de la Universidad del Valle.

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Autor

Luis Cornelio Recalde

Identificadores:
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Autor

Gabriela Inés Arbeláes

Identificadores:
Tipo ID Valor ID


Introducción

Capítulo 1
Objetividad matemática, historia y educación matemática

Introducción
Comprender las razones de ser de la lógica interna de las teorías matemáticas
Indagar sobre modalidades de objetivación de teorías concretas: el caso de los reales
Valorar adecuadamente el papel de las concepciones de los matemáticos en su actividad
El ideal de lo simple en la inteligibilidad matemática
Objetividad y apropiación de teorías en contextos diversos: una historia dual para la educación matemática
Bibliografía

Capítulo 2
Medida, número y magnitud en la antigüedad griega

Introducción
La etapa primaria de la medida
La teoría pitagórica de números
Las Limitaciones de la primera teoría de la medida
Contextos posibles de aparición del problema de la irracionalidad
El problema de raíz de dos
La anttphairesis
El caso del pentágono
El caso del cuadrado
La etapa de la medida relativa
La medida relativa en figuras planas
La teoría de razones y proporciones en Euclides
La teoría de números en Euclides
La irracionalidad en Euclides
Bibliografía
 
Capítulo 3
Teoría de ecuaciones y concepto de número. Los casos del álgebra árabe y del renacimiento

Introducción
El álgebra árabe y la teoría de ecuaciones
El álgebra en al-Khwarizmi
Los términos primitivos y una nueva teoría matemática
La idea de ecuación, operaciones y resolución de ecuaciones
Formas normales y ecuaciones
Operaciones algebraicas
Fórmulas y reglas de resolución
Sobre la demostración de las reglas
Sobre los problemas y sus soluciones
Número y álgebra en al-Khwarizmi
El álgebra del Renacimiento y la tensión del campo numérico
El Ars Magna de Cardano y una teoría general de solución de ecuaciones
Soluciones dobles, raíces dobles y números negativos
Solución de ecuaciones cúbicas y "continuidad"
Sobre la demostración de las reglas
Álgebra y objetivación en Cardano
Conclusiones y reflexiones pedagógicas
Bibliografía

Capítulo 4
El papel de la técnica algebraica cartesiana en los procesos de objetivación de los reales

Introducción
La algebrización de la geometría
La técnica cartesiana en la solución del Problema de Pappus
La algebrización de la geometría y una nueva forma de constitución de objetos geométricos en la obra cartesiana
Una aproximación al número real en el trabajo cartesiano: la relación entre número y magnitud
Las ecuaciones en La Geometría: un medio para resolver problemas geométricos
Que las raíces, tanto verdaderas como falsas, pueden ser reales o imaginarias. Conclusiones
Bibliografía

Capítulo 5
El conjunto de los números reales como objeto matemático: la "construcción" de dedekind

Introducción      
Antecedentes de orden histórico y epistemológico a partir de algunas problemáticas asociadas a la enseñanza de R        
Continuidad geométrica y continuidad aritmética: la formulación del T. V.I
Continuidad y procesos infinitos
Continuidad y cornpletez en Dedekind
 Las propiedades de Q en la recta geométrica
Propiedad de la cortadura y esencia de la continuidad
Construcción y/o creación de los números reales
Definición de un orden en el nuevo dominio
Extensión a partir de Q
R como un dominio unidimensional totalmente ordenado y continúo
Operaciones con números reales
La completez topológica como garantía lógica del análisis infinitesimal
Bibliografía

Capítulo 6
La noción de vecindad en la apropiación de los reales

Introducción
La noción de vecindad
La "proximidad" o "cercanía" entre dos puntos
La vecindad en términos de distancia
La noción abstracta de vecindad
Límite y continuidad en relación con la vecindad
Vecindad vs. Continuidad de una función
Vecindad vs. Límite de una sucesión
A través de sucesiones de racionales
R como límite de sucesiones de Cauchy en Q
Completez por sucesiones vs. Vecindad
Conclusiones
Bibliografía

Capítulo 7
La caracterización conjuntista de los números reales: del dominio de las magnitudes al dominio de los conjuntos

Introducción
Los números reales axiomatizados
La medida de Borel
La teoría de conjuntos de Cantor
La teoría de medida de Lebesgue
Las limitaciones de la medida de Lebesgue
La teoría axiomática de Zerrnelo-Fraenkel
La teoría de conjuntos y la construcción de R
R como prototipo de continuo numérico
¿Hemos caracterizado la esencia del continuo completamente?
Bibliografía

Índice
Autores  


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